原发布者:ls68866
对数运算法则一、对数的定义：bN真数aNlogab对数底数loga10logaa1alogaNN(N>0)注：负数和零没有对数二、对数运算法则1、运算公式：a>0,a≠1,M>0;N>0则：(MN)MlogNlog①logaaaMNMlogNlog②logaaa③lognMaM(nR)nlogaalogaNNMp证明：性质①设loga∴M=apN=aqNqloga∴M∙N=ap∙aq=aq+p∴M∙N=aq+ppqlog练习：证明MNaloglogMaNaMNloglogMlogN②aaa2、应用举例：例1、用log,log,log表示下列各式：xyx2y3zz(1)log(2)logaa解：xyzlog(xy)logz(1)logaaaxlogylogzlogaaaxayazax2y2y3z3zx(2)logloglogaaax2logylog3zlogaaax1logy1logx2loga2a3a练习：用对数的法则计算下列各式。4z3y2)(x（）1loga2y2x(2)log2y2)ax(x3例2：求下列各式的值：725)(4（1）log2(2)lg5100725）75(44log2解：（）1loglog22245log2145197log221551lg1022lg100lg(100)551253log 基本性质：
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(a^b)=b
3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
推导
1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
3、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
4、与（3）类似处理
MN=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
5、与（3）类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下：
由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导：
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] 最重要的的就是乘变加：lgab=lga lgb
和除变减：lga/b=lga-lgb 基本性能：
1，^（日志（一）（二））= B
2日志（一）（^ B）= B
3日志（一）（MN） =日志（一）（M）+日志（N）（a）条;
日志（一）（M÷N）=日志（一）（M）日志（一）（N）; /> 5，日志（一）（M n次方）= n登入（一）（M）
6，日志（n次方）M = 1/nlog（一）（M）
推导 BR /> 1时，N =日志（一）（二），代入的n次方= B，即^（日志（一）（二））= B。
2，^ B = ^ B
吨= ^ B
^ B = T B =日志（一）（T）=日志（一）（一^ B）
3，MN = M×N的基本性质（取代M和N）
^ [日志（一）（MN）] = ^ [日志（一）（M）]×A ^ [日志（一）（N）] =（M）*（N）
索引属性
^ [日志（一）（百万）] = ^ {[日志（一）（M）] + [日志（一）（N）]}
两个种的方法，只是不同的性质，根据实际情况，使用该方法的<br因为指数函数是一个单调函数
日志（一）（MN）=日志（一）（M）+日志（一）（N）
4，和（3）相同的处理，所以
MN = M÷N
1（取代M和N）的基本属性
^ [日志（一）（M÷N）] = ^ [日志（一）（M）]÷^ [日志（一）（N）]
索引属性
^ [日志（一）（M÷N）] = ^ {[日志（一）（ M）] - [日志（一）（N）]}
而且还因为指数函数是一个单调函数的/>日志（一）（M÷N）=日志（一）（ M） - 日志（一）（N）类似的待遇
（3）M ^ N = M ^ N
的基本性质（更换M）
^ [登录（一）（M ^ N）] = {^ [日志（一）（M）]} n次方
^ [日志（一）（M ^ N）] = ^ {[日志（一）（M）] * N}
由于指数函数的单调函数，所以
日志（一）（M n次方）= n登入（ ）（M）
基本属性4促进
日志（^ n）的（B ^ M）= M / N *日志（A）（B）]
推导如下：换底（换底见下文）[：LNX日志（E）（X），E简称为自然对数
日志（^ n）的（B ^ M）= LN （B ^ M）÷LN（A ^）
变化的基本公式推导：
设置E ^ X = B ^ M，E ^ Y =一个n次方
然后登录（^ n）的（B ^ M）=日志（E ^ Y）（E ^）= X / Y
= LN（B ^），Y = LN（n次方）的：日志（^ n）的（B ^ M）= LN（B ^ M）÷LN（n次方）
可能获得的基本属性
日志（n次方）（B ^ M）= [米×LN（B）]÷[N×LN（一）] =（M÷N）×{[LN（B）]÷[LN（一）]}
再次年底的转换公式
日志（^ n）的（B ^ M）= M÷N×[日志（一）和（b）] 解答：
有以下3条,（0<a<1或a>1）
loga(M)+loga(N)=loga(MN), M>0,N>0
loga(M)-loga(N)=loga(M/N), M>0,N>0
nloga(M)=loga(M^n) n∈R，M>0,N>0 loga[b]=lgb/lga
loga[x]+loga[y]=loga[xy]
loga[x]+logb[x]=lgx/lga+lgx/lgb=lgx[(lga+lgb)/(lga*lgb)]=lgx*lg(ab)/(lga*lgb)
loga[x]-loga[y]=loga[x/y]
loga[x]-logb[x]=lgx/lga-lgx/lgb=lgx[(lgb-lga)/(lga*lgb)]=lgx*lg(b/a)/(lga*lgb)
对数运算法则一、对数的定义：bN真数aNlogab对数底数loga10logaa1alogaNN(N>0)注：负数和零没有对数二、对数运算法则1、运算公式：a>0,a≠1,M>0;N>0则：(MN)MlogNlog①logaaaMNMlogNlog②logaaa③lognMaM(nR)nlogaalogaNNMp证明：性质①设loga∴M=apN=aqNqloga∴M∙N=ap∙aq=aq+p∴M∙N=aq+ppqlog练习：证明MNaloglogMaNaMNloglogMlogN②aaa2、应用举例：例1、用log,log,log表示下列各式：xyx2y3zz(1)log(2)logaa解：xyzlog(xy)logz(1)logaaaxlogylogzlogaaaxayazax2y2y3z3zx(2)logloglogaaax2logylog3zlogaaax1logy1logx2loga2a3a练习：用对数的法则计算下列各式。4z3y2)(x（）1loga2y2x(2)log2y2)ax(x3例2：求下列各式的值：725)(4（1）log2(2)lg5100725）75(44log2解：（）1loglog22245log2145197log221551lg1022lg100lg(100)551253log 基本性质：
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(a^b)=b
3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
推导
1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
3、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
4、与（3）类似处理
MN=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
5、与（3）类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下：
由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导：
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] 最重要的的就是乘变加：lgab=lga lgb
和除变减：lga/b=lga-lgb 基本性能：
1，^（日志（一）（二））= B
2日志（一）（^ B）= B
3日志（一）（MN） =日志（一）（M）+日志（N）（a）条;
日志（一）（M÷N）=日志（一）（M）日志（一）（N）; /> 5，日志（一）（M n次方）= n登入（一）（M）
6，日志（n次方）M = 1/nlog（一）（M）
推导 BR /> 1时，N =日志（一）（二），代入的n次方= B，即^（日志（一）（二））= B。
2，^ B = ^ B
吨= ^ B
^ B = T B =日志（一）（T）=日志（一）（一^ B）
3，MN = M×N的基本性质（取代M和N）
^ [日志（一）（MN）] = ^ [日志（一）（M）]×A ^ [日志（一）（N）] =（M）*（N）
索引属性
^ [日志（一）（百万）] = ^ {[日志（一）（M）] + [日志（一）（N）]}
两个种的方法，只是不同的性质，根据实际情况，使用该方法的<br因为指数函数是一个单调函数
日志（一）（MN）=日志（一）（M）+日志（一）（N）
4，和（3）相同的处理，所以
MN = M÷N
1（取代M和N）的基本属性
^ [日志（一）（M÷N）] = ^ [日志（一）（M）]÷^ [日志（一）（N）]
索引属性
^ [日志（一）（M÷N）] = ^ {[日志（一）（ M）] - [日志（一）（N）]}
而且还因为指数函数是一个单调函数的/>日志（一）（M÷N）=日志（一）（ M） - 日志（一）（N）类似的待遇
（3）M ^ N = M ^ N
的基本性质（更换M）
^ [登录（一）（M ^ N）] = {^ [日志（一）（M）]} n次方
^ [日志（一）（M ^ N）] = ^ {[日志（一）（M）] * N}
由于指数函数的单调函数，所以
日志（一）（M n次方）= n登入（ ）（M）
基本属性4促进
日志（^ n）的（B ^ M）= M / N *日志（A）（B）]
推导如下：换底（换底见下文）[：LNX日志（E）（X），E简称为自然对数
日志（^ n）的（B ^ M）= LN （B ^ M）÷LN（A ^）
变化的基本公式推导：
设置E ^ X = B ^ M，E ^ Y =一个n次方
然后登录（^ n）的（B ^ M）=日志（E ^ Y）（E ^）= X / Y
= LN（B ^），Y = LN（n次方）的：日志（^ n）的（B ^ M）= LN（B ^ M）÷LN（n次方）
可能获得的基本属性
日志（n次方）（B ^ M）= [米×LN（B）]÷[N×LN（一）] =（M÷N）×{[LN（B）]÷[LN（一）]}
再次年底的转换公式
日志（^ n）的（B ^ M）= M÷N×[日志（一）和（b）] 解答：
有以下3条,（0<a<1或a>1）
loga(M)+loga(N)=loga(MN), M>0,N>0
loga(M)-loga(N)=loga(M/N), M>0,N>0
nloga(M)=loga(M^n) n∈R，M>0,N>0 loga[b]=lgb/lga
loga[x]+loga[y]=loga[xy]
loga[x]+logb[x]=lgx/lga+lgx/lgb=lgx[(lga+lgb)/(lga*lgb)]=lgx*lg(ab)/(lga*lgb)
loga[x]-loga[y]=loga[x/y]
loga[x]-logb[x]=lgx/lga-lgx/lgb=lgx[(lgb-lga)/(lga*lgb)]=lgx*lg(b/a)/(lga*lgb)
