1、幂函数的概念
一般称一个函数为幂函数，其中自变量为常数；它的领域是有意义的值的集合。
1.幂函数是已知的，当时是减函数。求幂函数的解析公式。
解析:正确理解幂函数的概念、形象和性质。求幂函数的解析式，一般采用待定系数法。理解幂函数的定义是解决问题的关键。
答:因为是幂函数，
所以解决办法还是。
当时，它是一个递减函数。
当时，，是世界常数函数，不符合题意，放弃吧。
因此，幂函数的解析式为。
2.幂函数的图像和性质
图片:
自然:
(1)屏幕上定义了所有的幂函数，图像被超点；
(2)如果是，则幂函数的图像穿过点和并且是区间中的增函数；
(3)如果是，则幂函数的像过了点，是区间内的减函数。在第一象限中，当从原点移动时，图像无限接近轴右侧的轴，当向原点移动时，图像无限接近轴上方的轴。
(4)当它是奇数时，幂函数是奇数函数；当它是偶数时，幂函数是偶数。
2.比较…的大小。
解析:先用幂函数的增减来比较和的大小，再根据幂函数的形象来比较和的大小。
回答:
但是单调增加
,
。因此。
3.如果函数在区间内是减函数，求实数m的取值范围。
解析:本题考查简单幂函数的性质和函数图像的翻译。
函数是常用的幂函数，也叫反比例函数。它的定义域是一个奇函数，对称中心是(0，0)，两者都是减函数。一般来说，具有形状的函数可以通过变换图像来获得，所以这些函数的性质可以利用。
回答:因为
，所以形象的函数是由一个幂函数组成的
图像是先向右移动2个单位，然后向上移动3个单位得到的，所以图像如图所示。
它的单调递减区间是和，而函数在区间是递减的，所以应该是。
4.如果点在幂函数的像上，点在幂函数的像上，定义并试求函数的最大值及其单调区间。
解析:首先根据幂函数的定义，在同一坐标系中画出函数和的图像，得到函数图像。最后根据图像得到最大值和单调区间。
答:假设，因为点在的像上，所以，所以，那就是；
假设这个点在图像上，那么，那么，就是。
在同一坐标系中画出函数和的图像，如图所示，有
。
根据图，函数的最大值等于，其单调递增的区间为(，-1)和(0，1)；单调递减区间是和。
5.已知幂函数是一个偶函数，在地面上是一个减函数。求函数的解析式，讨论的奇偶性。
解析:首先根据单调性得出m的取值范围，然后通过奇偶性进一步确定m的取值。讨论…的奇偶性时注意字母的讨论。
回答:以上是负函数。∵,0,1。
因为是偶函数，∴只满足当时题的意思，所以。
因此
,
。
而当，是一个非奇非偶函数；
和时，是奇数函数；
而当，则是偶函数；
而当，它既是奇数又是偶数。
6.众所周知，幂函数是定义域中的增函数，甚至是定义域中的函数。
(1)求的值，写出相应函数的解析式；
(2)对于(1)中获得的函数，设置函数。问有没有实数，使得函数在区间内是减函数，在区间内是增函数？如果是，请求的值；如果没有，请说明原因。
解析:第一个问题是根据单调性得出的取值范围，然后是由奇偶性进一步确定的值。第二个问题可以根据复合函数的单调性来解决。
答:(1)幂函数是世界上的增函数，∴∴
再一次，∴
∵是定义域中的一个偶函数，∴当时只满足题意，所以。
②由，然后。
假设有一个实数，这样假设条件就满足了。那就点菜吧。
∵这是一个递减函数，当时的∴，；那时候。
如果是区间内的减函数，区间内的增函数，则是上区间的减函数，上区间的增函数。此时，二次函数的对称轴方程为，
∴
。
所以有实数，使得函数在区间内是减函数，在区间内是增函数。
幂函数的定义:
例如形状为y = x a (a为常数)的函数，即以基数为自变量，以幂为因变量，以指数为常数的函数，称为幂函数。
域和值域:
当a为不同数值时，幂函数的定义域的不同情况如下:若a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a是负的，那么x一定不是0，但是那么函数的定义域也一定是有根的[根据Q的奇偶性，即如果Q同时是偶数，那么x不能小于0，那么函数的定义域就是所有大于0的实数；同时，如果q是奇数，函数的定义域是所有不等于0的实数。当x为不同值时，幂函数的值域不同如下:当x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。当x小于0时，只有q同时是奇数，函数的取值范围是非零实数。只有当a为正值时，0才进入函数的取值范围。
自然:
由于a的值是非零有理数，所以有必要将其分成几种情况来讨论它们各自的特点:
首先我们知道，如果a=p/q，q和p都是整数，那么x (p/q) = q的根(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n为负整数时，设a=-k，则X = 1/(x k)。很明显，x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∩(0，+∞)。所以可以看出，X受到两个因素的制约，一个是它可能作为分母而不是0，另一个是它有
排除0和负数两种可能，即对于x>0，a可以是任意实数；
排除了零的可能性，即对于x0的所有实数，q不可能是偶数；
排除了为负的可能性，即对于所有x大于等于0的实数，a不能为负。
综上所述，我们可以得到当A为不同值时幂函数定义域的不同情况，如下:
若a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负，那么x一定不为0，但那么函数的定义域也必须根据q的奇偶性来确定，即如果q同时为偶数，那么x不能小于0，那么函数的定义域就是所有大于0的实数；同时，如果q是奇数，函数的定义域是所有不等于0的实数。
当x大于0时，函数值域总是大于实数0。
当x小于0时，只有q同时是奇数，函数的取值范围是非零实数。
只有当a为正值时，0才进入函数的取值范围。
由于x大于0，对a的任何值都有意义，所以下面给出了幂函数在第一象限的各种情况。
你可以看到:
(1)所有的数字都经过(1，1)的点。
(2)当a大于0时，幂函数单调递增，而当a小于0时，幂函数单调递减。
(3)当a大于1时，幂函数图形是凹的；当a小于1大于0时，幂函数图是凸的。
(4)当a小于0时，a越小，图形的倾斜度越大。
(5)a大于0，函数超过(0，0)；a小于0，但函数只有(0，0)点。
(6)显然幂函数无解。
